درسنامه آموزشی فصل هشتم ریاضی کلاس نهم
درس 2: حجم هرم و مخروط
یکی دیگر از حجمهای هندسی، حجم هرمی است. به طور حتم نام اهرام مصر را شنیدهاید. نمونهٔ دیگری از شکلهای هرمی را نام ببرید. بعضی از چادرهای مسافرتی
|
|
|
هرم، یک شکل فضایی است که دارای یک وجه زیرین به نام قاعده است. قاعده هرم، یک چند ضلعی است. مانند شکل مقابل روی تمام محیط این چند ضلعی، سطحهایی قرار دارد که در یک نقطه به نام رأس، یکدیگر را قطع میکنند. به این سطحها وجه جانبی میگویند.
در هرم مقابل، نام رأس: O تعداد وجهها: 5 پنج
شکل وجهها: مثلث شکل قاعده: پنج ضلعی نام قاعده: $ABCDE$
به فاصلهٔ رأس هرم تا قاعده، یعنی طول عمودی که از رأس بر قاعده رسم میشود، ارتفاع هرم میگویند. در شکل، OH بر قاعدهٔ ABCDE عمود است و ارتفاع هرم است. معمولاً برای نام گذاری هرم از رأس شروع میکنیم؛ به عنوان مثال هرم بالا به صورت OABCDE خوانده میشود.
فعالیت (صفحهٔ 135 کتاب درسی)
1- اگر چند ضلعی قاعده، یک چند ضلعی منتظم باشد و وجههای جانبی با هم، هم نهشت باشند، هرم را منتظم میگوییم. در این صورت اگر قاعده، مرکز تقارن داشته باشد، پای ارتفاع (نقطهٔ برخورد ارتفاع و قاعده) روی مرکز تقارن میافتد.
در هرم منتظم مقابل، نام رأس: O ارتفاع: OH شکل قاعده: چهار ضلعی (مربع) شکل وجههای جانبی: مثلث متساویالساقین تعداد وجهها: 4
2- الف) با توجه به شکلها و اطلاعات داده شده به نظر شما حجم کدام هرم بیشتر است؟
در شکلهای (1) و (2) مثلثهای قاعده هم نهشتاند.
|
|
$O'H' \lt OH\,\,\Rightarrow \,V' \lt V$
در شکلهای (3) و (4) ارتفاعها برابر است.
|
|
$O'H'=OH,{{S}_{ABC}} \lt {{S}_{A'B'C'}}\Rightarrow V' \gt V$
ب) به نظر شما حجم هرم به چه مقادیری وابسته است؟ به مساحت قاعده و ارتفاع هرم وابسته است.
ج) برای محاسبهٔ مساحت مثلث از چه مقادیری استفاده میکردید؟ برای محاسبهٔ حجم هرم چه حدسی میزنید؟
برای مساحت مثلث از قاعده و ارتفاع مثلث استفاده میکردیم. برای حجم هرم از مساحت قاعده و ارتفاع استفاده میکنیم.
د) اگر دو هرم دارای قاعدههای با مساحت مساوی و ارتفاعهای مساوی باشند، درباره حجمهای آنها چه میتوانید بگویید؟ حجم آنها با هم برابرند.
کار در کلاس (صفحهٔ 136 کتاب درسی)
در شکل مقابل، ABCD یک وجه یک مکعب مستطیل و M و N دو نقطهٔ دلخواه روی وجه $(A'B'C'D')$ است.
چرا هرمهای MABCD و NABCD دارای حجمهای یکسان است؟
زیرا این هرمها، هم قاعده بوده و ارتفاعشان هم یکی میباشد.
به این ترتیب چند هرم میتوان ساخت که با هرمهای بالا حجم یکسان داشته باشند؟
بیشمار هرم میتوان ساخت که با هرمهای بالا حجم یکسان داشته باشند.
فعالیت (صفحهٔ 137 کتاب درسی)
محاسبۀ حجم هرم
در شکل زیر، منشوری با دو قاعده $\overset{\Delta }{\mathop{ABC}}\,$ و $\overset{\Delta }{\mathop{DEF}}\,$ را میبینید.نقطهٔ C را به نقطههای E و D و نقطهٔ B را به نقطهٔ D وصل میکنیم؛ به این ترتیب منشور را به سه هرم، مطابق شکل تجزیه میکنیم. آیا این سه هرم را در این منشور تشخیص میدهید؟ با پاسخ دادن به سؤالات زیر، نشان دهید که این سه هرم، حجمهای برابر دارد و از آنجا نتیجه بگیرید که حجم هر یک از آنها، یک سوم حجم منشور است.
1- چهارضلعی ABED، چه نوع چهار ضلعی است؟ چرا مثلثهای ABD و BDE هم مساحتاند؟
با توجه به تعریف منشور این چهار ضلعی مستطیل است. قطر هر مستطیل آن را به دو مثلث همنهشت تقسیم میکند.
2- چرا هرمهای CBED و CBAD دارای حجمهای برابرند؟
این دو هرم در رأس c مشترک هستند و قاعدههای آنها هم مساحت هستند پس ارتفاع آنها با هم مساوی است و درنتیجه حجمهای یکسان دارند.
3- چرا هرمهای DEF و ABC هم مساحتاند؟
زیرا وجههای روبروی منشور هستند در نتیجه همنهشت و هم مساحت هستند.
4- چرا هرمهای CDEF و DABC دارای حجمهای برابرند؟
زیرا قاعدههای آنها مثلثهای ABC و DEF هممساحت هستند و ارتفاعهای آنها CF و AD برابرند.
5- با توجه به پاسخ سؤالهای 2 و 4 چه نتیجهای میگیریم؟
سه هرم مشخص شده در شکل حجمهای برابر دارند و در نتیجه حجم هر یک برابر یک سوم حجم منشور است.
کار در کلاس (صفحهٔ 137 کتاب درسی)
در هرم $AC=6cm,OABC$ و $BC=10cm$ و زاویهٔ $\overset{\wedge }{\mathop{ACB}}\,={{90}^{\circ }}$ و OH ارتفاع هرم مساوی 5cm است. با کامل کردن عبارتهای زیر حجم هرم را به دست آورید.
$\begin{align}& {{S}_{ABC}}=\frac{AC\times CB}{2}=\frac{6\times 10}{2}=30c{{m}^{2}} \\ & V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 30\times 5=50c{{m}^{3}} \\ \end{align}$
فعالیت (صفحهٔ 138 کتاب درسی)
1- در شکل زیر، هرم منتظم با قاعدهٔ مربع، رسم شده که وجههای جانبی آن همگی مثلثهایی متساوی الساقین و طول ساقهای آنها 10cm و M وسط BC است.
الف) پاره خط OM در مثلث OBC چه خواصی دارد؟
هم ارتفاع و هم میانه و هم نیسماز و هم عمود منصف در مثلثهای OBC میباشند
ب) مثلث OBM چه نوع مثلثی است؟ قائمالزاویه
ج) اگر طول ضلع قاعده، 12cm باشد، به کمک قضیهٔ فیثاغورس در مثلث OBM طول OM را حساب کنید.
$\begin{align}& O{{M}^{2}}=O{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}\,\Rightarrow \,O{{M}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=100-36 \\ & O{{M}^{2}}=64\,\,\Rightarrow OM=8 \\ \end{align}$
د) مثلث OMH چه نوع مثلثی است؟ طول MH چقدر است؟
قائمالزاویه - طول MH برابر است با نصف ضلع مربع (قاعده) یعنی 6 $MH=6$
ه) به کمک قضیهٔ فیثاغورس در مثلث OMH، طول OH را به دست آورید.
$\begin{align}& O{{H}^{2}}=O{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}={{8}^{2}}-{{6}^{2}}=64-36=28 \\ & OH=\sqrt{28}=2\sqrt{7} \\ \end{align}$
و) حجم هرم OABCD را به دست آورید.
$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times {{12}^{2}}\times 2\sqrt{7}=\frac{1}{3}\times 144\times 2\sqrt{2}=96\sqrt{2}$ هرم
2- هرم منتظمی را در نظر بگیرید که قاعدهٔ آن یک چند ضلعی منتظم باشد. مانند مربع، پنج ضلعی منتظم، شش ضلعی منتظم و … .
حال تعداد ضلعهای این چندضلعی را بیشتر و بیشتر کنید؛ چند ضلعی فوق به چه شکلی نزدیک میشود؟ هرم به چه شکلی نزدیک میشود؟ دایره - مخروط
از اینجا نتیجه میشود که حجم مخروط، مانند حجم هرم از رابطهٔ زیر به دست میآید:
$V=\frac{1}{3}sh=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$
کار در کلاس (صفحهٔ 139 کتاب درسی)
علی با قسمتی از دایرهای به شعاع 10cm، مخروطی به قطر قاعدهٔ 12cm ساخته است. حجم این مخروط را به دست آورید.
ابتدا باید اندازه ارتفاع مخروط را بدست آوریم:
$O{{H}^{2}}=O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}\,\Rightarrow O{{H}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=100-36=64\Rightarrow h=OH=8$
حجم مخروط $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\times 3/14\times {{6}^{2}}\times 8=\frac{1}{3}\times 3/14\times 36\times 8=3/14\times 12\times 8=301/44c{{m}^{3}}$ مخروط
تمرین (صفحهٔ 139 کتاب درسی)
1- حجم هرمی را به دست آورید که قاعدهٔ آن مستطیلی به ابعاد 6 و 5 سانتی متر و ارتفاع آن 10 سانتی متر باشد.
$V=\frac{1}{2}S.h=\frac{1}{3}\times 6\times 5\times 10=100c{{m}^{3}}$
2- حجم هرمی با قاعدهٔ مربع را به دست آورید که ضلع قاعدهٔ آن $4cm$ باشد و وجههای جانبی آن مثلثهای متساوی الساقینی به ساقهای $8cm$ باشد.
$\begin{align}& O{{M}^{2}}=O{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}\Rightarrow O{{M}^{2}}={{8}^{2}}-{{2}^{2}}=64-4=60\Rightarrow OM=\sqrt{60} \\ & O{{H}^{2}}=O{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}\Rightarrow O{{H}^{2}}=60-{{2}^{2}}=60-4=56 \\ \end{align}$
ارتفاع $OH=\sqrt{56}=2\sqrt{14}=h$
$V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}\times 16\times 2\sqrt{14}=\frac{32\sqrt{14}}{3}$ حجم
3- ظرفی به شکل مخروط با شعاع دهانهٔ $4cm$ و به ارتفاع $12cm$ را از آب پر میکنیم و در لیوانی استوانهای شکل، که شعاع قاعدهٔ آن $6cm$ است، خالی میکنیم؛ آب تا چه ارتفاعی در لیوان بالا میآید؟
$=\frac{\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h}{\pi R{{'}^{2}}}=\frac{\frac{1}{3}\times {{4}^{2}}\times 12}{{{6}^{2}}}=\frac{{{4}^{2}}\times 4}{36}=\frac{64}{36}=1/7cm$